움짤로 익히는 스도쿠 23. 보우만의 빙고(Bowman's Bingo)
- 스도쿠/초고급(저세상레벨)
- 2024. 12. 6.
이번 글에서는 최종보스라고 불리는 보우만의 빙고 또는 보우맨의 빙고 (Bowman's Bingo)에 대해 알아 보겠다. 명칭의 유래는 스킵하도록 하자! 내가 생각할 때, 별로 의미가 없다. 개념 자체는 쉽지만 찾기가 어렵고 실제로 찾을 때도 이게 맞음?? 이라는 의문이 들면서 미궁에 빠지기도 해서 저 세상 공식이라고 생각한다. 이 글은 체인 전략을 알고 있으면 좋지만 몰라도 이해할 수 있다고 생각한다.
바로 시작하겠다.
우선 바로 보우만의 빙고로 가지 않고 아래와 같은 게임이 있을 때, WXYZ윙 > XY체인 > ALS 3가지 공식으로 풀고 1가지 방식으로 증명을 해보도록 하겠다.
풀이 움짤1. 2/5/6/9 네 개의 숫자로 잠긴 > WXYZ윙
위의 움짤은 전형적인 WXYZ-윙의 형태로 찾기만 하면 암산이 가능할 정도인데
A1칸이 2이라면 +2[A1] -2[A5] +9[A5] -9[A7] +5[A7] 이 되고
A1칸이 6이라면 +6[A1] -6[C2] +5[C2]가 된다.
즉, A1칸이 2 또는 6이 되는 어떠한 경우라도 +5[A7] +5[C2] 둘 중의 하나는 반드시 참이되므로
+5[A7] +5[C2]가 동시에 마주보는 5[A3] 5[C7] 5[C9] 3개의 후보숫자를 삭제할 수 있다.
풀이 움짤2. XY체인
위의 움짤과 같이
-5[C2] +6[C2] -6[A1] +2[A1] -2[A4] +9[A4] -9[A4] +5[A7]이 되어
-5[C2]과 +5[A7]가 동시에 마주보는
5[A3] 5[C7] 5[C9]을 제거할 수 있다.
풀이 움짤3. ALS (최근에 애용하는 스도쿠 전략이다.)
위의 움짤과 같이
1번 ALS (2/6[A1], 2/9[A4], 5/9[A7])
2번 ALS (5/6[C2]) 가 있을 때
2개의 ALS에 단 한개씩만 있는 후보수 6으로 연결 되는 것을 알 수 있다.
후보수 6을 제외하고 각 ALS에 남은 숫자 중 5[C2] 와 5[A7]가
동시에 마주보는 5[A3] 5[C7] 5[C9]을 제거할 수 있다.
자 위와 같이 동일한 게임을 WXYZ공식 > XY 체인 전략 > ALS 3가지의 방식으로 풀어봤는데, 이제 증명을 해보겠다.
증명1.
만약에 C7의 해가 5라면
+5[C7] +9[A7] +2[A5]가 되고
+5[C7] +6[C2] +2[A1]이 되어
A행에 +2[A5]과 +2[A1]가 동시에 ON이 되는 모순이 발생하므로
C7의 해는 5가 될 수 없으므로 제거 되어야 한다.
증명2.
증명1.을 확장하면 연장선으로
C9의 해가 5라면
+5[C9] +9[A7] +2[A5]가 되고
+5[C9] +6[C2] +2[A1]이 되어
A행에 +2[A5]과 +2[A1]가 동시에 ON이 되는 모순이 발생하므로
C9의 해는 5가 될 수 없으므로 제거 되어야 한다.
증명3. 혹시 증명1.과 증명2에서 빨간선만 추적하는 이유를 모를 수 있는 스도커가 있기 때문에 체인으로 풀어서 증명하고 증명1.2와 같이 되는 이유까지 움짤로 설명하겠다.
XY 체인으로 설명
만약 A3의 해가 5라면
+5[A3] -5[A7] +9[A7] -9[A5] +2[A5]가 되고
+5[A2] -5[C2] +6[C2] -6[A1] +2[A1]이 되어
A행에 +2[A5]과 +2[A1]가 동시에 ON이 되는 모순이 발생하므로
A3의 해는 5가 될 수 없으므로 제거 되어야 한다.
위의 XY체인을 간략하게 해만 추적한 방식이 증명1.과 증명2의 움짤이 되겠다. 즉 ON이 되는 숫자만 추적하는 방식으로 직접적인 숫자를 기입하는 것과 같은 형태다.
ON이 되는 숫자만 추적하여 설명
+5[A3] +9[A7] +2[A5]가 되고
+5[A2] +6[C2] +2[A1]이 되어
A행에 +2[A5]과 +2[A1]가 동시에 ON이 되는 모순이 발생하므로
A3의 해는 5가 될 수 없으므로 제거 되어야 한다.
XY체인의 결과와 ON이 되는 숫자만 추적하여 설명한 움짤 결과를 아래와 같이 이해하기 쉽도록 결과만 엮어봤다.
자 이렇게 동일한 문제를 3가지의 공식을 적용하고 증명까지 해봤는데...
그럼 보우만의 빙고는 무엇이냐?'고 묻는 스도커가 있을 텐데...
이미 여러분은 보우만의 빙고를 봤다. 그 것도 3번이나~ 증명1.에 쓰인 움짤을 다시 보면서 설명하면
시작점을 후보숫자 X 해(=ON)가 되는 상황으로 가정한 후
ON이 되는 이중값을 추적하여 1개의 하우스에 ON이 2개 이상 발견되거나
1개의 하우스에서 특정한 후보숫자가 모두 OFF가 되는 상황이 발생하면
시작점이 해가 된다는 가정이 거짓이 되므로 제거한다
는 개념이 보우만의 빙고(Bowman's Bingo)의 정의다.
보우만의 빙고를 적용하여 ON이 되는 숫자를 추적하다가 막히면 앞서 ON이 되었던 가정된 확정숫자에 의해 OFF가 된 후보숫자까지 활용하는 Net 개념의 체인이라고 보면 되겠다.
그럼 언제가지 추적해야 할까? '당연히 2개 이상 ON이 되는 상황을 찾을 때' 까지거나~ 완전한 후보수 조합이 될 때까지다.
혹자는 이게 무슨 공식이냐 싶겠지만, 처음에 3가지 풀이방법과 그에 대한 증명1.2.3을 봐서 알겠지만 'Why Not?'이다. 스도쿠에 쓰이는 모든 공식은 사실상 숫자를 직접 입력하는 방식을 취하고 모순이 생기면 제거하는 방식이다. 또한 위의 증명에서 봤듯이 다른 공식 적용 후에 검산하는 방법으로도 매우 좋다.
또한 보우만의 빙고는 위의 증명 3의 움짤에서도 봤듯이 덜 복잡하도록 XY체인을 ON만 연결하는 방식으로 네트가 이루어 진다.(이 글을 끝까지 읽고 공식 자체에 흥미가 없을수도 있다. 그렇더라도 위의 증명세서 쓰이는 체인 추적하는 방식은 즐겨 쓰기를 바란다. ON>OFF로 찾기에는 시간이 아깝다. 즉, 보우만의 빙고는 없던 개념이 아니고, XY체인을 양방향으로 확장하여 모순을 찾을 때까지 추적하는 방식이라고 보면 되겠다.
시작점을 잘 못 찍으면 가끔 문제를 끝까지 풀게 되는 경우도 나온다. 이 때는 시작점을 포함한 추적된 모든 ON이 되는 후보숫자가 참이 되는 유일한 상황이라고 보면 된다.
보우만의 빙고는 아무 때나 쓰는 것은 아니고 막혀서 돌아가는 방법으로 보면된다. 또한 보우만의 빙고는 다른 공식이나 전략처럼 전형적인 모양이 나오지 않는다. 1개의 가정으로 출발해서 모순되는 상황이 1개가 될 수도 있고, 2개 이상이 될 수도 있다. 또한 잘 못 찍으면 참인 숫자를 추적하게 되어 후보숫자가 있는 모든 칸을 참으로 채울 수도 있다. 추적된 모든 숫자가 해가 되기 때문에 이런 상황은 또 다른 의미가 있긴 하다. 그렇다고 모든 상황에서 참인 숫자를 찾았다고 끝까지 추적되지는 않는다.
위에서 본 간단한 링크에 적용할 수 있다면 지금 글을 읽는 여러분도 충분히 보우만의 빙고를 이용하는 것이라고 봐도 무방하다..
제대로 저 세상 공식으로 들어가기 전에 쉬운 예제를 한개만 더 보자.
위의 짤과 같이 2/3/5[C9]는 후보숫자가 삼중값이고
나머지는 모두 이중값을 갖는 상황은 딱 한 방에 해를 찾을 수 있는
BUG 공식을 쓸 수 있는 상황이다.
박스 3에서 가장 많이 있는 숫자가 삼중값의 해가 된다.
즉, C9는 3이 된다.
BUG에 대해 알고 싶다면 아래 링크에서 확인하기 바란다.
움짤로 익히는 스도쿠 16. 버그(Bi-Value Universal Grave)
움짤로 익히는 스도쿠 16. 버그(Bi-Value Universal Grave)
이번 글에서는 스도쿠를 풀다가 종반에 칸의 갯수에 상관없이 한 칸만 3개의 호부숫자가 있고 나머지 모든 칸이 이중위치, 즉 2개의 후보숫자만 남아 있는 경우에 특별한 공식을 쓰지 않고 쉽게
inoks.tistory.com
위의 BUG 상황을 보우만의 빙고로 증명해 보겠다. 해를 알고 있기 때문에 해가 아닌 후보숫자부터 검토하겠다.
증명1. C9의 해가 2라고 가정하면 아래 움짤과 같이
+2[H5] 와 +2[G6]인 모순이 발생되기 때문에 2[C9]를 제거할 수 있다 .
증명1-1.
위의 버그상황은 좀 특수한 상황으로 모 아니면 도가 되는 상황으로 아래 움짤과 같이 확장을 해도 계속 모순이 발생되기 때문에 보우만의 빙고를 익히기 좋다고 생각한다.
증명1-2.
증명2. C9의 해가 5라고 가정하면 아래 움짤과 같이
+5[H4] 와 +5[G6]인 모순이 발생되기 때문에 5[C9]를 제거할 수 있다 .
결론1. 위의 증명1.2에 따라서 C9의 해는 3이 된다'로 마무리 해도 되지만
C9가 3이라고 가정했을 때도 움짤로 말들어 봤다.
증명3. C9의 해가 3이라고 가정하면
위의 움짤과 같이 모순되는 상황이 없기 때문에 C9의 해는 3이 되는 것을 알 수 있다.
즉, BUG공식을 적용하는 상황인
단 하나의 삼중값이 남았을 때,
삼중값이 속한 하우스에서 제일 많은 후보숫자가 해가 된다는 것은 참이된다.
>>>>>>> 보우만의 빙고는 해가 되는 숫자를 해라고 가정했을 때,
모든 숫자를 끝까지 추적하게 되는 것이 제일 허무한 상황이 될 수 있지만
위에서 살펴본 BUG의 상황 말고는
대체적으로 모순이 발결되거나,
추적이 불가능한 상황이 오기 때문에
모든 숫자가 참이 되는 경우를 찾기 어려워서
허무함 회피? 내지는 실패는 잘 되는 편이다.
하지만 우리가 익히 아는 공식을 보우만의 빙고로 풀자고 이 글을 쓰는 것이 아니다.
자! 입 벌리자! 이제 위의 간단한 WXYZ윙이나 BUG상황 에서 보우만의 빙고를 적용하는 상황 말고 좀 더 머리가 아픈 큰 거 들어가보겠다!
본격적인 보우만의 빙고 예제1.
1-1. 이번 움짤은 개념을 시각적으로 잘 볼수 있게 만든 움짤로
보우만의 빙고를 추적할 때마다 지워지는 칸을 파란색으로 칠했다.
위의 움짤을 보면
만약에 A9가 8이라고 가정한다면
+8[A9] +9[A8] +3[A5] +2[A6]이 ON이 되어
1/2/5/8 [A2]중에서 2/8[A2]가 OFF가 되어 1/5[A2]가 된다.
이어서 +9[A8] +8[F8] +5[F6] +1[F2]이 되어
1/5[A2] 중에서 1[A2]를 추가로 OFF 시켜 A2는 5가 ON이 되어
2/4/5[D2] 중에 5[D2]가 OFF가 되어 2/4[D2]가 된다.
이어서 +5[F6] +4[D4] 가 되어 2/4[D2] 중에 4[D2]가 OFF가 되어 2[D2]가 확정되어
+1[F2] +2[D2] +3[D7] 이 되는데,
앞서 살펴본 네트에서 +5[F6] +3[F7]도 성립하기 때문에
7열에 +3[D7]과 +3[F7]가 동시에 존재하는 모순이 생기기 때문에
처음 가정인 A9가 8이라는 가정은 거짓이 되어 8[A9]을 제거할 수 있다.
또한 같은 상황에서 아래움짤처럼 다른 해석도 가능하다. 즉 F7의 3과 8 모두 OFF가 되는 모순이 발생되기 때문에 A9는 8이 될 수 없다.
1-2. 실전에서 쓰는 방법은 아래 움짤과 같이 필요한 칸만 OFF를 기록한다.
위의 움짤을 보면
만약에 A9가 8이라고 가정한다면
+8[A9] +9[A8] +3[A5] +2[A6]이 되고
+9[A8] +8[F8] +5[F6] +1[F2]이 되고
1/2/5/8[A2] 중에 +1[F2] +2[A6] +8[A9]에 의해 5만 남기고 OFF가 되어
2/4/5[D2] 중에 5[D2]가 OFF가 되어 2/4[D2] 가 남고,
+5[F6] +4[D4] 가 되어 2/4[D2] 중에 4[D2]가 OFF가 되어 2[D2]가 확정되어
+1[F2] +2[D2] +3[D7] 이 되는데,
앞서 살펴본 네트에서 +5[F6] +3[F7]도 성립하기 때문에
7열에 +3[D7]과 +3[F7]가 동시에 존재하는 모순이 생기기 때문에
처음 가정인 A9가 8이라는 가정은 거짓이 되어 8[A9]을 제거할 수 있다.
위의 풀이법은 나도 '스도쿠 위키'라는 사이트에서 보고 익힌 방법인데 좀 복잡하다.
잘 알겠지만 스도쿠는 길이 한 개만 있지 않기 때문에 좀 더 상상력을 발휘하면 마지막 81번째 숫자가 확정되기 전까지는 모순덩어리기 때문에 보우만의 빙고를 활용할 기회는 매우 많다. 또한 그 많은 길에서 최대한 쉬운 길을 찾아야 한다.
내가 찾은 길은 위와 같이 원래 문제 풀이법의 응용이긴 하지만
A9가 8이라고 가정을 하면
+8[A9] +9[A8] +3[A5] +2[A6]이 되고
+9[A8] +8[F8] +5[F6] +4[D4]가 된다.
+2[A6] +4[D4]에 의해 2/4/8[B4]에서 2/4가 OFF가 되고 8[B4] 이 확정 되면
ON 상태인 +8[A9]와 8[B4]에 의해
8[A2]와 8[B2]를 OFF 상태로 만들어 박스 1에 8이 하나도 없는 모순이 발생되어
A9가 8이라는 가정은 거짓이 되므로 8[A9]을 제거할 수 있다.
본격적인 보우만의 빙고 예제2.
B2의 해를 1이라고 가정하면
+1[B2] +5[F2] +8[F6] +9[F8] +8[A8] 이 되어
1/2/5/8[A2] 의 후보숫자 중에 8만 남기고 제거 되어 2[A2]가 되고
+8[F6] +5[D4] +4[D2]가 되어
1/2/4/5[I2]가 +1[B2] +5[F2] 2[A2] +4[D2]에 의해 모두 OFF가 되는 모순이 발생되므로
B2의 해가 1이 될 수가 없기 때문에 1[B2]는 제거된다.
본격적인 보우만의 빙고 예제3. (설명은 생략하겠다. 말이 더 어려운 거 같다.)
C6의 해가 4라고 가정하면 1/4/5/8[A6] 의 모든 후보숫자가 OFF가 되는 모순이 발생하므로
C6의 해는 4가 될 수 없기 때문에 4[C6]는 제거할 수 있다.
예제가 너무 적어서 아쉽기는 하지만 흥미가 있는 스도커는 위의 움짤만이라도 여러번 복 익히기를 권한다.
나중에 극한 문제에서 꼭 도움이 되는 보우만씨의 빙고~라고 생각한다. 3D 메두사보다 더 강력한 네트로 어디선가 무엇 하나는 꼭 걸리게 되어 있다고 생각한다.'라는 생각을 갖고
인게임에서 실제로 보우만의 빙고를 적용해 보니...
잘 찍먹~ 하면 절대적인 '게임 체인저'가 되는 거 같다.
아래는 실제 인게임에서 풀하우스 찾기 > 포인팅 페어 등으로 초반에 후보숫자를 제거 후에 나머지 후보숫자를 다 채운 직후로...
본격적인 보우만의 빙고 예제4.
박스 1에 후보숫자 4가 1/4/7[B1], 3/4/9[C3] 2칸에만 있어서
1칸에서 4를 지우면 좋겠다는 생각에
C3칸에서 4가 해가 된다는 가정으로 보우만의 빙고를 적용해 봤다.
위의 짤을 보우만의 빙고 적용한 움짤
C3이 4가 된다고 가정하면
+4[C3] +9[G3] +4[H1] +6[H4] +8[F4] +6[F7] +3[E7] +5[C7] +6[C5] +(+5[B4] +9[A6]) +1[C4] +(+9[D4] +9[C2]) +1[I2]가 되고 (사실 여기까지 추적하면서 이게 마즘? 하는 마음이 있었다. )
+6[H4] +5[G6] +(+6[D6] +6[G8] +1[I5] +8[G5]가 되어
I열에 +1[I2]과 +1[I5]가 동시에 ON이 되는 모순이 발생하게 되므로
C3이 4가 해가 된다는 가정은 거짓이 되기 때문에 4[C3]를 제거할 수 있다.
중간에 +5[C7] 이 된 이유는 +4[C3] +3[E7] +5[C7]으로 OFF가 되고 남는 숫자이기 때문이다.
또한 +1[C4]가 된 이유는 +5[B4] +9[A6]에 의해 OFF가 되고 남는 숫자이기 때문이다.
이렇게 4[C3]을 제거가 트리거가 되는 것을 알 수 있다.
위의 움짤처럼 좀 길게 네트를 추적한 후에 4[C3]를 제거하고 나서는 (추적할 때, 느낌은 알고 찾는다기 보다는 이중값을 위주로 찾다보니 나타나게 되었다고 보는 게 맞다...)
아래 움짤처럼 끝까지 풀하우스로 풀리게 되어서 9단계 레벨 치고는 좀 쉬운 판이었나?'라는 생각을 하고 다음 게임을 하려는 찰라에... 위의 판을 다른 공식들로 풀어보자는 생각을 하게 되었고, 생각보다. 많은 공식이 쓰였다. 이 과정을 보면서 보우만의 빙고를 하우스에 2개만 있는 후보숫자로 제한해서 잘 적용할 경우 게임의 절대적인 트리거가 될 수 있다는 것을 느꼈다.
위의 움짤을 보우만의 빙고 외의 공식으로 푸는 움짤도 같이 올리는데.... 설명은 생략하겠다. 쓰인 공식만 쓰겠다. 결과 움짤만 엮은 것을 먼저 보면 아래와 같이 C3의 후보숫자 4를 제거 하는데 간극이 꽤 있는 것을 알 수 있다.
위에서 보우만의 빙고를 적용했던 것과 동일한 상황에서 다른 공식을 써서 푼 움짤들....(설명 생략)
(히든 페어, 싱글 체인(=심플 컬러링), 포인팅 페어, W윙, 사시미 소드피쉬, 사시미 젤리피쉬, XY체인(5링크), XY윙, 소드피쉬, W윙)
1-1. 히든 페어 (가 있는 줄도 모르고 위에서는 바로 보우만의 빙고를 적용했다. 즉 이중값을 갖는 후보숫자에도 보우만의 빙고는 적용이 가능하다는 반증이라고 보면 되겠다.)
1-2. 싱글 체인.
1-3. 포인팅 페어
1-4. W윙.
1-5. 사시미 소드피쉬.
1-6. 사시미 젤리피쉬.
1-7. 5링크 XY체인.
1-8. XY윙.
1-9. 소드피쉬.
1-10. W윙.
1-11. 풀~하우스로 끝까지
풀이가 막혔을 때 적용하는 것은 대전제이긴 하지만 마지막 확정숫자가 정해지기 전까지는 스도쿠는 모순으로 가득 차 있고, 보우만의 빙고로 문제를 풀 기회가 매우 많지만 그래도 좀 더 효율적으로 빙고를 사용할 때를 적어 보면
1. 이중값이 하우스에 많은 후보숫자에 적용한다. (트리거가 되는 상황을 노린다.)
2. 제거하고자 하는 후보숫자가 속한 하우스는 확실한 트리플 또는 확실한 쿼드에서 시작하자. (1개만 걸리면 게임 끝이다.)
3. 후보숫자 X를 해라고 가정했을 때, 후보숫자 X외에도 YZW 등의 복수 후보숫자가 ON이 되는 하우스에서 시작한다.
4. 칸 안에 후보숫자가 5개 이상은 피한다. (물론 보우만의 빙고가 성공될 확률은 후보숫자가 많은 칸이긴 하지만 들인 시간에 비해 수확이 별로다. > 트리거가 될 수 없다. )
5. 이건 좀 느낌적인건데... 이 거 하나만 꼭 지우고 싶은 생각이 들 때, 적용한다.
6. 체인 추적을 할 때는 아래 움짤처럼 ALS로 이뤄진 칸들을 중점적으로 따라간다.
자! 보우만의 빙고에 대한 글은 여기까지다.
이 글을 읽고 보우만의 빙고에 대해 어떤 생각을 갖게 되는지는 모르겠지만(서칭을 해 보니 이게 공식이냐고? 하는 사람들이 많더라!) 꼭 익혀 보기를 강력추천 한다.
어흑 아래와 같은 판에서 후보숫자 1 한 개만 해결하면 좋을 거 같아서 B6의 1이 해가 된다는 가정으로 출발했다가...
모순 덩어리를 찾지 못한 채.... 핵폭탄을 뽑아서 바로 게임을 끝냈드아...
위의 보우만의 빙고로 모두 참이 되는 상황을 실제 결과와 묶은 움짤이다. 만약에 내가 B6가 아닌 B3의 후보숫자 1이 해라고 가정을 했어도 핵폭탄이 되는 상황은 맞다.
그리고 참고로 위의 상황이 매우 쉬운 게임이라고 판단할 수 있지만, 힌트만 캡쳐한 걸 보면 아래와 같은 전개가 되는 판이었고, 쓰인 공식은 아래와 같다. 사시미 젤리 피쉬 > XY체인 (4링크) > 싱글 체인 (7링크) > 싱글 체인 (5링크) > XY체인(4링크) > XY 체인(5링크) > W윙 > X윙 > X윙 > XY윙 -끝-
직전에 언급했던...
1. 이중값이 하우스에 많은 후보숫자에 적용한다. (트리거가 되는 상황을 노린다.) 는 말은 보우만의 빙고를 적용하기에 매우 적절한 상황인 것은 맞아 보인다.